學科能力競賽 97學年度 複賽 北一區 筆試(二)
第一題#
（3 分）設 $x, y$ 為實數，若 $3x^2 + 2y^2 = 2x$，則 $x^2 + y^2$ 的最大值為何？
第二題#
（3 分）在密碼學中，對於英文，人們將 26 個字母按順序分別對應整數 0 到 25（例如 A 對應 0，B 對應 1，C 對應 2，……，Z 對應 25）。現有一個密碼單詞是由 4 個字母構成，記此 4 個字母由左而右對應的數值分別為 $x_1, x_2, x_3, x_4$。已知：整數 $x_1 + 2x_2$、$3x_2, x_3 + 2x_4$、$3x_4$ 除以 26 的餘數分別為 9、16、23、12，則密碼的單詞是何？
第三題#
（3 分）有甲、乙、丙三個人分別擲一公正的骰子，擲出點數分別為 $a_1, a_2, a_3$，則恰好 $a_1 \geq a_2 + a_3$ 的機率為何？
第四題#
（3 分）如右圖，$\triangle ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 150°$，$\overline{AB} = 3, \overline{AC} = 2$，$D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BD} : \overline{DC} = 1 : 2$，則向量內積 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$ 為何？
第五題#
（3 分）設 $a$ 為實數，已知方程式 $x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0$ 的根都是實數，則 $a$ 的範圍為何？
第六題#
（3 分）在平面上，設 $L_1$、$L_2$ 兩直線交於 $O$ 點且夾角為 $\dfrac{2\pi}{3}$，已知一點 $P$ 至直線 $L_1$ 的垂足為 $A$ 點，至 $L_2$ 的垂足為 $B$ 點。若 $\overline{PO} = \sqrt{6}$，$\overline{PA} = 1$，則 $\overline{AB}$ 的長為何？
第七題#
（3 分）設 $x$ 為銳角，則 $\dfrac{2\sin x \cos x + \frac{5}{2}}{\sin x + \cos x}$ 的最小值為何？