北一區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）如圖，將邊長為 $a$ 的正方形剪去圖中的陰影部分，再沿圖中的虛線摺成一個正三角錐，其底面是邊長為 $b$ 的正三角形，則 (1) $a$ 與 $b$ 的關係式為何？(2) 正三角錐的高為何？

第二題#

（16 分）設數列 $\langle a_n \rangle$ 的每一項都是正數，$S_n$ 為前 $n$ 項的和，且 $S_n^2 = a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3$，$n=1,2,\ldots$，請導出此數列的一般項 $a_n$，並證明之。

第三題#

（17 分）已知 $(2x-1)^8 - (ax+b)^8 = (x^2+cx+d)^4$ 為恆等式，其中 $a>0$。試求實數 $a,b,c,d$ 之值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（3 分）設 $x, y$ 為實數，若 $3x^2 + 2y^2 = 2x$，則 $x^2 + y^2$ 的最大值為何？

第二題#

（3 分）在密碼學中，對於英文，人們將 26 個字母按順序分別對應整數 0 到 25（例如 A 對應 0，B 對應 1，C 對應 2，……，Z 對應 25）。現有一個密碼單詞是由 4 個字母構成，記此 4 個字母由左而右對應的數值分別為 $x_1, x_2, x_3, x_4$。已知：整數 $x_1 + 2x_2$、$3x_2, x_3 + 2x_4$、$3x_4$ 除以 26 的餘數分別為 9、16、23、12，則密碼的單詞是何？

第三題#

（3 分）有甲、乙、丙三個人分別擲一公正的骰子，擲出點數分別為 $a_1, a_2, a_3$，則恰好 $a_1 \geq a_2 + a_3$ 的機率為何？

第四題#

（3 分）如右圖，$\triangle ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 150°$，$\overline{AB} = 3, \overline{AC} = 2$，$D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BD} : \overline{DC} = 1 : 2$，則向量內積 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$ 為何？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

斐波那契數列 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\ldots$ 的排列規律是：前兩個數是 1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數之和，試問在斐波那契數列的前 2008 個數中共有幾個偶數。

第二題#

若橢圓 $2x^2+9y^2=18$ 上有兩個相異點 $A, B$，使得 $A$ 關於直線 $3x+y+a=0$ 的對稱點為 $B$，則 $a$ 的範圍為何？