高雄市國民中學數學競賽 114學年度 合作解題賽
每題 40 分，共 200 分。
第一題#
已知二次函數 $y = ax^2 + bx + c$ 的圖形經過 $A(-1, 0)$、$B(2, 0)$、$C(0, 2)$ 三點，
- （15%）求此二次函數為何？
- （25%）若點 $P$ 是第一象限內此二次函數圖形上的一個動點，移動 $P$ 點使得四邊形 $ABPC$ 的面積最大，求此時面積的大小及 $P$ 點座標？
第二題#
下表為一個 $3000 \times 3000$ 的表格，且每一直行和每一橫列中的數字皆各自形成等差數列，若在此表格中，數字 4601 出現在對角線格子上的次數為 $A$、出現在對角線以上的格子次數為 $B$，求數對 $(A, B)$。
| 1 | 5 | 9 | 13 | 17 | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 11 | 17 | 23 | 29 | $\cdots$ |
| 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | $\cdots$ |
| 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | $\cdots$ |
| 17 | 29 | 41 | 53 | 65 | $\cdots$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
第三題#
高雄市教育局舉辦一個含有數個項目的競賽，甲、乙、丙三人同時參加此競賽，在每一個別項目的競賽中三人的成績恰好均為三個相異的正整數 $a, b, c$（舉例而言：在項目 1 中，甲得 $a$、乙得 $b$、丙得 $c$；在項目 2 中，甲得 $c$、乙得 $a$、丙得 $b$；……）。已知最後成績總和甲得 19 分、乙得 11 分、丙得 9 分；假設在某項目中丙的成績為第一名，求在此項目中誰得第二名？
第四題#
國王邀請了編號 1 到 50 的 50 位騎士參加宴會。如果騎士 $A$ 和騎士 $B$ 同時出席（$A$、$B$ 不同人），且他們的編號相加剛好等於在場的騎士 $C$ 的編號，那麼 $C$ 就會覺得 $A$ 和 $B$ 在說他壞話，進而引發爭吵。為了讓宴會和平進行（即不發生爭吵），國王最多可以邀請多少位騎士出席？
第五題#
如圖，設點 $M$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圓上，且 $\overline{MN}$ 垂直於 $\overline{BC}$ 上的 $N$ 點，$\overline{MP}$ 垂直於 $\overline{CA}$ 上的 $P$ 點，$\overline{MQ}$ 垂直於 $\overline{AB}$ 上的 $Q$ 點。求證：$N, P, Q$ 三點共線（即可證 $\angle NPQ = 180^\circ$）。