亞太數學奧林匹亞競賽 2004年

2004/03/16

第 16 屆亞太數學奧林匹亞競賽（APMO）於 2004 年 3 月 16 日同時在台北（中央研究院）及高雄（高雄大學）兩地舉行。時間限制：計 4 小時（9:00 am – 1:00 pm），不得使用計算器，本試卷共五題，每題滿分七分。

第一題#

令 $S$ 表示由正整數構成的有限集合，若 $S$ 滿足下式：對所有 $i, j \in S$，

$$\frac{i + j}{(i, j)} \in S,$$

其中 $(i, j)$ 表示 $i, j$ 的最大公因數。試問 $S$ 中的元素有哪些？

第二題#

令 $O$ 與 $H$ 分別為銳角三角形 $ABC$ 的外心與垂心。試證：在三角形 $AOH$、$BOH$ 與 $COH$ 中，其中一個三角形的面積等於其餘兩個三角形的面積和。

第三題#

令 $S$ 是由平面上 2004 個點所構成的集合，且其中任意三點不共線。令 $L$ 是由 $S$ 中任意兩點所決定的直線（此直線可向兩端無限延伸）所構成的集合。試證：有可能將 $S$ 中的點至多以兩種顏色著色，以使得對於 $S$ 中的任意兩點 $p$ 及 $q$，在 $L$ 中能找到分開此兩點的直線個數是奇數的充要條件為 $p$ 與 $q$ 具有相同的顏色。

註：若兩點 $p$ 與 $q$ 在直線 $l$ 的兩側，並且不在 $l$ 上，則稱此直線 $l$ 分開兩點 $p$ 與 $q$。

第四題#

對任意實數 $x$，令 $\lfloor x \rfloor$ 表示小於或等於 $x$ 的最大整數。試證：對每一個正整數 $n$，

$$\left\lfloor \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \right\rfloor$$

為一偶數。

第五題#

設 $a, b, c$ 為任意正整數，試證：

$$(a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2) \geq 9(ab + bc + ca).$$