亞太數學研習營 2004年 模擬競試
2004/02/14第十六屆亞太數學（APMO）模擬競試。時間限制：計三小時（8:30 – 11:30），不得使用電子計算器，每題七分。
第一題#
令 $f$ 為從實數映到實數的函數且滿足
$$f(x^3 + y^3) = (x + y)\left((f(x))^2 - f(x)f(y) + (f(y))^2\right),$$其中 $x$ 與 $y$ 是任意實數。試證：對任意實數 $x$，$f(2004x) = 2004f(x)$。
第二題#
在一圓的圓周上有 24 個點且此 24 個點將圓周分成 24 個長度為 1 的圓弧。今欲從此 24 個點選出 8 個點使得任意兩個點所構成的圓弧長不為 3 或 8。試問：符合上述的取法有多少種？
第三題#
令 $a, b, c, b + c - a, c + a - b, a + b - c$ 與 $a + b + c$ 為 7 個相異的質數且滿足 $a + b = 800$。若 $M$ 與 $m$ 分別表示此 7 個數的最大值與最小值，則 $M - m$ 之值為何？
第四題#
已知一圓與菱形 $ABCD$ 相切，令其在 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 與 $\overline{DA}$ 之切點分別為 $E$、$F$、$G$ 與 $H$。假設點 $M$、$N$、$P$ 與 $Q$ 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 與 $\overline{DA}$ 上的點，且 $\overline{MN}$、$\overline{PQ}$ 分別與弧 $EF$、弧 $GH$ 相切。試證明：$\overline{MQ}$ 與 $\overline{NP}$ 互相平行。