亞太數學研習營 2006年 獨立研究
2006/02/13二〇〇六亞太數學奧林匹亞研習營，獨立研究。時間限制：計三小時（8:30 – 11:30），除作圖外，答案限用黑色或藍色筆書寫，答案不得以修正液（帶）修正，不得使用電子計算器，每題七分。
第一題#
等腰三角形 $\triangle ABC$，$AC = BC$。令 $O$ 為外心，$I$ 為內心，且 $O$ 在線段 $CI$ 上。若已知點 $D$ 在 $BC$ 邊上，且直線 $OD \perp BI$。證明 $ID$ 與 $AC$ 平行。
第二題#
令 $\mathbb{R}^+$ 表示所有正實數所成的集合。試求所有的函數 $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ 使得對任意的正實數 $x, y$，
$$x^2\bigl(f(x) + f(y)\bigr) = (x + y)f(yf(x))$$成立。
第三題#
對任一給定之正整數 $n$，證明 $5n - 1, 13n - 1, 34n - 1$ 不可能都是整數的平方。
第四題#
在一個有 $n$ 個隊伍的比賽中，每一支隊伍只和其他隊伍交手一次。若對於任意兩個隊 $A, B$，恰存在 $t$ 個隊使得 $A, B$ 兩隊皆贏此 $t$ 個隊，試證：
$$n = 4t + 3.$$