亞太數學研習營 2007年 獨立研究
2007/02/10二〇〇七亞太數學奧林匹亞研習營，獨立研究。時間限制：計三小時（08:30 – 11:30），除作圖外，答案限用黑色或藍色筆書寫，答案不得以修正液（帶）修正，不得使用電子計算器，每題七分。
第一題#
試決定最小的兩個正整數 $n$ 使得集合 $S = \{1, 2, \cdots, 3n - 1, 3n\}$ 可被分割成 $n$ 個彼此互不相交的集合 $\{x, y, z\}$，其中 $x + y = 3z$。
第二題#
求出所有的四位數 $\overline{abcd}$，其中 $a, b, c, d$ 分別為千位數、百位數、十位數、個位數，使得此四位數恰等於
$$a^a + b^b + c^c + d^d.$$第三題#
令 $a, b, c$ 表示三角形的三邊長。試證
$$\frac{ab}{c(c + a)} + \frac{bc}{a(a + b)} + \frac{ca}{b(b + c)} \geq \frac{a}{c + a} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c}.$$第四題#
給定三角形 $\triangle ABC$ 及其外接圓，$D$ 是弧 $BC$ 的中點（取不包含 $A$ 點的弧），$E$ 是弧 $AC$ 的中點（取不包含 $B$ 點的弧），$F$ 是弧 $AB$ 的中點（取不包含 $C$ 點的弧），$DE$ 與 $BC, AC$ 分別交於 $G, H$。$DF$ 與 $BC, AB$ 分別交於 $I, J$。又令 $M, N$ 分別是 $GH, IJ$ 的中點，$AD$ 與 $EF$ 交於 $P$ 點。
（i）試將 $\triangle DMN$ 的三個內角用 $\angle A, \angle B, \angle C$ 表示。
（ii）證明 $\triangle DMN$ 的外接圓圓心落在 $\triangle PMN$ 的外接圓上。