數學競賽歷屆試題

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學科能力競賽決賽

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列出各年度學科能力競賽決賽的所有頁面。

學科能力競賽複賽北一區

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列出各年度學科能力競賽複賽北一區的所有頁面。

個人賽

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填充題#

每小題 5 分，共 60 分。

設 $x, y$ 均為非負整數且滿足 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{11300}$，求滿足上式的 $x + y$ 共有多少個不同的值？
若數 $(3630)_p$ 能被 7 整除，求所有符合條件的 $p$ 值為何？（例如：$(1011)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$；$(310)_5 = 3 \times 5^2 + 1 \times 5^1 + 0 \times 5^0$）
假設 $x$ 的方程式 $x^2 + tx - 3 = 0$ 和 $x^2 - 4x - (t-1) = 0$ 有一個相同的根，則此根為何值？

筆試(一)

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第一題#

設 $n$ 與 $p$ 都是正整數。試證：若多項式 $f(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x + p$ 可以分解為兩個次數不小於 $1$ 的整係數多項式之乘積，則 $p$ 不是質數。

第二題#

已知凸四邊形 $ABCD$ 的周長為 $10$，對角線 $\overline{AC} = \overline{BD} = 4$。試問四邊形 $ABCD$ 最大可能的面積為多少？

第三題#

設 $n$ 為正整數。今有 $2n$ 張紙牌，分別寫上號碼 $1, 2, 3, \ldots, 2n$。將這些紙牌排成一列：$a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$，不妨將此種排列記為 $S$。對於此種牌型 $S$ 中的 $i$ 號牌和 $2n+1-i$ 號牌中間所夾的紙牌張數記為 $f_i$，並令

$$|S| = f_1 + f_2 + \cdots + f_n.$$

例如，當 $n = 2$ 且排列 $S: 1324$，則 $f_1 = 2, f_2 = 0$，因此 $|S| = f_1 + f_2 = 2$。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於 $1$ 的正整數，對於數列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，我們定義 $|a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + \cdots + |a_{n-1} - a_n|$ 為此數列的「絕對長度」。今給定 $2n$ 個兩兩相異的實數，將此 $2n$ 個實數任意排成一列，共有 $(2n)!$ 個可能的數列：

證明：若 $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ 是其中絕對長度最大的數列，則

(i) $a_{2i-1} < a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} > a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$

或

(ii) $a_{2i-1} > a_{2i},\ i = 1, 2, \ldots, n$；$a_{2i} < a_{2i+1},\ i = 1, 2, \ldots, n-1$。

筆試(一)

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第一題#

設 $\triangle ABC$ 的其中兩邊等長，其重心是 $G$。在 $\overline{AB}$ 上取一點 $D$ 使得 $\overline{AD} = \overline{AG}$，$\overline{DG}$ 分別與 $\overline{AC}$、$\overline{BC}$ 交於點 $E$、$F$。已知 $E$ 為 $\overline{DF}$ 的中點，求 $\angle BFD$。

第二題#

有 101 個正整數 $a_1, a_2, \cdots, a_{101}$ 滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_{101} = 300$，其中的最大數大於 100 且小於 150。試證：在這 101 個數中，必有某些數之和等於 108。

第三題#

當 $x$ 為實數時，$[x]$ 表示不大於 $x$ 的最大整數。證明：當 $n$ 為正整數時，

$$\left[\sqrt{1}\right]^2 + \left[\sqrt{2}\right]^2 + \cdots + \left[\sqrt{n}\right]^2 \geq \frac{n^2}{3}$$

恆成立。

筆試(一)

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第一題#

試找出所有可能的三個連續正整數，它們都是質數的正整數次方。

第二題#

設 $P(x)$ 為 $n$ 次多項式（$n \geq 1$），其各項係數都是非負實數，且領導係數與常數項都是 $1$。已知方程式 $P(x) = 0$ 的所有解都是實數，試證：對任意 $x \geq 0$，不等式 $P(x) \geq (x+1)^n$ 恆成立。

第三題#

給定銳角三角形 $ABC$，其三邊長 $BC = a$、$CA = b$、$AB = c$，又正三角形 $PQR$ 內一點 $M$，滿足 $PM = a$、$QM = b$、$RM = c$；並設 $\triangle PQR$ 以點 $Q$ 為中心順時針方向旋轉 $60^\circ$ 後得到 $\triangle RQR^\prime$，且點 $M$ 移轉到點 $M^\prime$。

試證：四邊形 $PQRM$ 與四邊形 $MQM^\prime R$ 的面積相等，並求此面積（以 $a, b, c$ 表示）。
若 $D$ 為 $\triangle ABC$ 內部的一點，使得 $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$（即 $D$ 為費馬點），且 $AD + BD + CD = d$，試求 $\triangle PQR$ 的面積（以 $d$ 表示）。

筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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問題一#

已知 $a, b$ 為正整數，$a^2 + b^2$ 除以 $a + b$ 的商為 $q$，餘數為 $r$，求所有滿足 $q^2 + r = 2021$ 的數對 $(a, b)$。

問題二#

設 $a, b, c, A, B, C$ 為實數，且 $a \neq 0$，$A \neq 0$。假設對所有的實數 $x$，不等式

$$|ax^2 + bx + c| \leq |Ax^2 + Bx + C|$$

恆成立，試證明

$$|b^2 - 4ac| \leq |B^2 - 4AC|。$$

問題三#

已知 $|z| = 1$（$z$ 為複數），求 $|z^3 - z + 2|$ 的最大值。

問題四#

設 $p(x)$ 為一個整係數多項式。若 $m$ 為 $p(x)$ 的一個整數根，則 $p(x) + 2$（或 $p(x) - 2$）的整數根只有可能為 $m \pm 1$ 或 $m \pm 2$。
設 $p(x)$ 為一個 $n$ 次的整係數多項式。試證明 $p(x)(p(x) + 2)$ 最多只有 $n + 2$ 個整數根。

筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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筆試(一)

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第一題#

設 $a, b, c$ 是正實數，且滿足條件 $ab + bc + ca + 2abc = 1$，試證：

$$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{2abc} \geq 16,$$

並求等號成立時，$a, b, c$ 之值分別是多少？

第二題#

已知有五個不同的四位數，它們的千位數字相同且它們的和恰能被其中的四個數整除，求所有滿足此條件的五個數。

第三題#

如圖，設銳角三角形 $ABC$ 中，$\overline{AC} > \overline{AB}$，點 $M, N$ 分別在邊 $AB, AC$ 上滿足 $\overline{AM} < \overline{AN}$，$\triangle ABC$ 與 $\triangle AMN$ 的外接圓交於相異兩點 $A, P$。設 $D, E, F$ 分別為 $\overline{MN}, \overline{BN}, \overline{CM}$ 的中點，$\triangle DEF$ 的外接圓與 $\overline{MN}$ 再交於 $D$ 與 $N$ 之間的一點 $G$。證明：

筆試(一)

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第一題#

設 $f(x)$ 是定義在正整數集上，取非負整數值的函數，且對所有的 $m, n$ 有

$$f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 \text{ 或 } 1$$$$f(3) = 0,\ f(4) > 0,\ f(10000) = 2500$$

求 $f(9996)$ 與 $f(2023)$。

第二題#

空間上有任意 3 點不共線的點 2023 個，把它們分成 40 組且每組的點數都不相同，在任意 3 個不同的組中各取一點作為三角形的三頂點，為使三角形的總數最大，求各組中的點數分別要為多少？

第三題#

設點 $E$ 是正方形 $ABCD$ 外一點使得 $\triangle CDE$ 為銳角三角形，且 $\overline{CE} \neq \overline{DE}$，在 $\triangle CDE$ 的外側作兩個三角形 $\triangle CEF$ 和 $\triangle DEG$ 使得 $\angle CEF = \angle DEG = 90^\circ$，$\angle ECF = \angle EDG$。已知 $\overline{AF} = \overline{BG}$，試求 $\angle ECF = ?$

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（9 分）設 $c$ 為常數且函數 $f(x) = x + c - (x^2 + 1)$。令 $M(c)$ 為 $|f(x)|$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 的最大值。試問當 $c$ 為何值時，$M(c)$ 的值為最小。

第二題#

（10 分）在等差數列 $100, 103, 106, \cdots, 199$ 中任取 20 個相異數，證明：其中必有 2 相異數之和為 302。

第三題#

（10 分）某班有 20 個學生，玩小天使活動。每個人要準備一份小禮物，收集禮物之後，每人再從中隨機抽取一份禮物。假設 $p$ 代表沒有任何一個人抽中自己禮物的機率，$q$ 代表恰有一人抽中自己禮物的機率，證明 $|p - q| = \dfrac{1}{20!}$。

第四題#

（10 分）正 $\triangle ABC$ 內部有一點 $P$ 到三頂點的線段長分別為 $\overline{PA} = 5$, $\overline{PB} = 6$, $\overline{PC} = 7$，求正 $\triangle ABC$ 的邊長。

筆試(一)

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第一題#

（11 分）設 $\{a_n\}$ 為滿足 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 的嚴格遞增之正整數數列，且當 $m, n$ 互質時，$a_{mn} = a_m a_n$ 恆成立。

證明 $a_3 = 3$。
給出 $a_n$ 的一般項公式並證明之。

第二題#

（11 分）滿足 $c^2 = a^2 + b^2$ 的正整數數對 $(a, b, c)$ 稱為一組畢氏數。試證明對任意一組畢氏數 $(a, b, c)$，下列恆成立。

$\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2 > 8$。
$\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ 不可能為整數。

第三題#

（12 分）平面上四點 $A, B, C, D$ 滿足任三點均不共線，且假設四邊形 $ABCD$ 的四條邊長之平方及兩對角線長的平方都是有理數，試證明 $\dfrac{\triangle ABC \text{ 面積}}{\triangle ADC \text{ 面積}}$ 也是有理數。

第四題#

（12 分）試證明聯立方程式

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）平面上，設三角形 $ABC$ 的外接圓為 $\omega$。在 $\angle A$ 的內角平分線上取一點 $D$，作圓 $\Gamma$ 通過 $A$ 點，並與直線 $CD$ 切於 $D$ 點。已知圓 $\Gamma$ 分別與 $AB$ 邊及圓 $\omega$ 交於 $P, Q$ 兩點。證明直線 $CD$ 與 $PQ$ 的交點 $X$ 位於圓 $\omega$ 上。

第二題#

（16 分）求出所有形如 $x^3 + ax^2 + 3bx - 4b$ 且三根為相異正整數的三次多項式。

第三題#

對 $X = \{1, 2, 3, \cdots, 10\}$ 的每一子集 $S$，令 $f(S)$ 表示 $S$ 中連續整數對 $(i, i+1)$ 的組數；例如：集合 $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ 中的連續整數對有 $(1, 2), (2, 3), (5, 6)$，共 3 組，故 $f(S) = 3$。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（10 分）一輪遊戲將投擲一次一個公正骰子並接著投擲一枚公正硬幣，其中投出骰子的點數代表硬幣可以投擲的最大次數，若投擲硬幣時出現頭像，則遊戲隨即結束，若達到可以投擲硬幣的最大次數仍未出現頭像，則繼續下一輪的遊戲。試求遊戲至少須玩三輪才能結束的機率。

第二題#

（10 分）設 $\{a_n\}$ 為一數列，$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}$ 其中 $n = 3, 4, \cdots$。證明：對所有正整數 $k$，若 $2^k \mid n$，則 $2^{k+1} \mid a_n$。

第三題#

（10 分）設 $B, C$ 為平面上兩個相異點，$A$ 為滿足下列條件的動點：若 $\triangle ABC$ 的重心為 $G$，則 $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$。求動點 $A$ 的軌跡。

第四題#

（10 分）令 $f(x, y, z) = \dfrac{xyz}{(1+3x)(4x+y)(3y+4z)(z+16)}$ 其中 $x, y, z > 0$。求 $f(x, y, z)$ 之最大值。

第五題#

（9 分）設 $a, b, c, d$ 為非負整數，$M, N$ 為正整數，且 $N - M = 2023$。已知 $x^4 + Mx^2 + N = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$，求滿足這樣條件的 $(M, N)$ 共有幾組？

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）已知下列聯立方程組有解，請問 $\theta$ 為何？

$$\begin{cases} -1 - \theta^2 + 2\cos(k\theta) + \theta\sin(k\theta) = 0, \\ \theta + \theta\cos(k\theta) - 2\sin(k\theta) = 0. \end{cases}$$

第二題#

（16 分）已知數列 $a_n$ 的首項 $a_1 = -2$，對於所有 $m, n \in \mathbb{N}$，皆滿足

$$a_{m+n} = \left(1 + \frac{m}{1+n}\right)a_n + \left(1 + \frac{n}{1+m}\right)a_m + mn(m+n+1).$$

試求其一般項 $a_n$。

第三題#

（17 分）設 $H$ 為三角形 $ABC$ 的垂心，圓 $O$ 為通過 $B, C, H$ 三點的圓，圓 $P$ 為通過 $C, H, A$ 三點的圓，以及圓 $Q$ 為通過 $A, B, H$ 三點的圓。試證圓 $O$、圓 $P$ 及圓 $Q$ 的直徑均相等。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $A, B, C, R, S, T$ 為圓 $O$ 上的相異點，其中 $A, R$ 在 $\overline{BC}$ 的同側，且 $\overline{AB} = \overline{AC}$，$\overline{RB} > \overline{RC}$。已知 $\overline{RS} = \overline{RT} = \sqrt{\overline{RB} \cdot \overline{RC}}$。試證：

（4 分）$\overline{RB} + \overline{RC} < 2\overline{AB}$。
（8 分）若 $\angle BRC \geq 90^\circ$，則 $\triangle RBC$ 面積大於 $\triangle RST$ 面積。

第二題#

（12 分）在坐標空間中，有一直線 $L: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{2} = z - 1$ 及兩點 $A(1, 2, 1)$, $B(0, 1, -1)$。若點 $P$ 在直線 $L$ 上移動，求 $\overline{AP} + \overline{BP}$ 的最小可能值。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組

$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$

試求滿足這樣條件之所有 $x + y + z$ 之值。

第二題#

設 $a, b, c$ 為正整數，使得 $\left(b - \dfrac{1}{a}\right)\left(c - \dfrac{1}{b}\right)\left(a - \dfrac{1}{c}\right)$ 為整數，試求滿足這樣條件的所有可能 $a, b, c$ 之值。

第三題#

如果 $A, B, C$ 是三角形 $ABC$ 的三個內角，試證：

$$-1 \leq \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2},$$

並確定等號是否成立及何時成立。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（12 分）已知 $m < 2023$ 為一個四位數，如果正整數 $n < m$，使得 $m - n$ 最多有三個正因數，且 $mn$ 為完全平方數，試求滿足這樣條件的所有可能 $m$ 值。

第二題#

（12 分）如下圖，$\triangle ABC$ 中，$AD$ 與 $BF$ 是 $\angle A$ 與 $\angle B$ 的內角角平分線，$E$ 為內心，$\triangle ABC$ 邊長分別以 $a, b, c$ 表示，即 $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$。證明：$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{b+c}{a}$。

第三題#

（12 分）試證：在任意 $3^{2023}$ 個正整數中，必存在 $2^{2023}$ 個數的和是 $2^{2023}$ 的倍數。

第四題#

（13 分）對於自然數 $n$，令 $f(n)$ 表示 $n$ 的最大奇因數。例如：$f(5) = 5$，$f(6) = 3$。求 $f(1) + f(2) + \cdots + f(2023)$ 的值。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（12 分）求函數 $f(x) = [1 - x] + [x - 1] + \left[\dfrac{2x}{3}\right] + [2x]$，$112 \leq x \leq 2023$ 可能的函數值的個數。（符號 $[a]$ 表示不大於實數 $a$ 的最大整數）

第二題#

（12 分）設 $x, y$ 均為正整數，求方程式 $15^x - 7 \cdot 2^y - 1 = 0$ 的所有解？

第三題#

（12 分）在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC} = a$，$\overline{CA} = b$，若 $\angle ABC = 20^\circ$ 且 $\angle CAB = 40^\circ$，求 $\dfrac{a^3 - b^3 - 5ab^2}{a^3 - b^3 + 6ab^2}$ 之值。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知實數 $c$ 與 $k$ 滿足 $c(c+2k) \neq 0$ 且 $c(c+k) \geq 0$。

(1) 證明：存在實係數多項式 $P(x)$ 使得 $P(0) = k$，且對所有的實數 $x$，都滿足

$$(P(x+c)+c)(P(x-c)+c) = (P(x))^2. \cdots\cdots (\star)$$

(2) 當 $(c,k) = (1, 2024)$ 時，求所有滿足條件 $(\star)$ 的實係數多項式 $P(x)$。

第二題#

證明：存在一個長寬都是大於 2024 的整數的矩形，不能被 $4\times4$ 與 $5\times5$ 的拼片拼滿。(假設兩種拼片皆無限量供應)。

第三題#

設 $\triangle ABC$ 為平面上的銳角三角形，點 $D$ 為 $\overline{AC}$ 的中點，$P$ 為 $\overline{BD}$ 上一點，使得 $\triangle BAP$ 的外接圓 $\Gamma$ 與 $\overline{AD}$ 再交於另一點 $M$，且 $\overline{DC}$ 上有一點 $N$，滿足 $\overline{PM} = \overline{PN}$。令圓 $\Omega$ 為 $\triangle NAP$ 的外接圓，且 $\Omega$ 在點 $A$ 的切線與 $\overline{BC}$ 的交點為 $Q$（$Q \neq B$），而 $Q$ 點恰落在圓 $\Gamma$ 上。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

113 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。

第一題#

（8 分）證明以下兩個不等式對所有自然數 $n$ 都成立。

$\dfrac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+2}} < \dfrac{\sqrt{2n+2}}{\sqrt{2n+3}}$。
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$。

第二題#

（12 分）已知 $a, b, c$ 是正實數且滿足 $\dfrac{a^2}{1+a^2} + \dfrac{b^2}{1+b^2} + \dfrac{c^2}{1+c^2} = 1$，證明 $abc \leq \dfrac{\sqrt{2}}{4}$。

第三題#

（12 分）試完成下面兩個問題。

已知 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 落在區間 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 內，求證

$$\sin(a_1 + a_2 + \cdots + a_k) \leq \sin a_1 + \sin a_2 + \cdots + \sin a_k。$$

已知 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$，證明 $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \sin\dfrac{1}{k^2\pi} \leq \dfrac{\pi}{6}$。

第四題#

（14 分）在線段 $\overline{AC}$ 上取點 $B$ 異於點 $A$ 與點 $C$，以線段 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為直徑在 $\overline{AC}$ 的同一側做半圓 $S_1$、$S_2$、$S_3$，過點 $B$ 做 $\overline{AC}$ 的垂直線交 $S_3$ 於點 $D$。$S_1$ 與 $S_2$ 的公切線分別切這兩個半圓於點 $F$ 與 $E$。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設圓 $A$ 分別內切圓 $B$ 和圓 $C$ 於點 $G$ 和點 $H$。在圓 $B$ 和圓 $C$ 上各取一點 $J,K$ 使得直線 $JK$ 為圓 $B$ 和圓 $C$ 的公切線。令點 $P$ 為直線 $JK$ 與 $BC$ 的交點，並自 $P$ 作一直線與圓 $A$ 交於 $X,Y$ 兩點。

（6 分）試證 $G,H,P$ 三點共線。
（6 分）試證 $J,K,X,Y$ 四點共圓。

第二題#

（4 分）設 $\alpha,\beta,\gamma$ 為實數，且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$。試證：
$$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = 1.$$
（8 分）已知實係數方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三個正根。若三根為 $\sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma$（$\alpha,\beta,\gamma>0$ 且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$）的充分必要條件為一個關係式 $f(a,b,c)=0$，試求 $f(a,b,c)$。

第三題#

（4 分）試問：以正九邊形的頂點為頂點的三角形中，有多少個是銳角三角形？
（8 分）設 $A_1,A_2,\ldots,A_{13}$ 是某圓周上的 13 個點。試問以這些點為頂點的三角形中，最多會有多少個是銳角三角形？

第四題#

（13 分）設 $n \geq 2$ 為正整數，且 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 均為正實數。試證：

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $p$, $q$ 為兩正整數，$x = \dfrac{\sqrt{q^2 + \frac{4q}{p}} - q}{2}$，證明：若 $\dfrac{1}{x}$ 的小數部分為 $y$，則 $\dfrac{1}{y}$ 的小數部分為 $x$。（註：一個數字 $a$ 的小數部分定義為 $a - [a]$，其中 $[a]$ 表示不大於 $a$ 的最大整數。）

第二題#

直線 $L$ 上依序有 4 個點 $A$, $B$, $C$, $D$，設 $\overline{AB} = a$，$\overline{BC} = b$，$\overline{CD} = c$。證明：

若直線 $L$ 外存在一點 $P$ 使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$，則 $b^2 < ac$。
若 $\dfrac{2}{b} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}$，則直線 $L$ 外存在一點 $P$，使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$。

第三題#

某國家有 500 個城市與 2025 條雙向道路，每條道路連接兩個城市。若城市 $A$ 與 $B$ 之間有一條道路連接，則稱 $A$ 鄰接 $B$；若存在另一城市 $C$，使得 $A$ 鄰接 $C$ 且 $C$ 鄰接 $B$，則稱 $A$ 準鄰接 $B$。要注意 $A$ 可以既鄰接 $B$，也同時準鄰接 $B$。已知任何兩個城市之間最多只有一條道路，且不存在四個城市 $A, B, C, D$ 使得 $A$ 鄰接 $B$、$B$ 鄰接 $C$、$C$ 鄰接 $D$、$D$ 鄰接 $A$。證明：至少存在一個城市，它的準鄰接城市數至少為 58。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。

第一題#

（10 分）平面上，有一定圓 $O$ 及圓外一定點 $A$，且 $P$ 為圓上一動點。今以 $\overline{AP}$ 為邊作一正三角形 $APB$（按順時針順序），試證：這些 $B$ 點共圓。

第二題#

（12 分）設 $f(x) = \log\!\left(1 + 5^x + \dfrac{(25)^x}{2}\right) - \log 3$。試證：對任何實數 $x$，不等式 $2f(x) < f(2x)$ 恆成立。

第三題#

（12 分）已知直線 $5x + 12y + a = 0$（$a > 0$）與圓 $x^2 + y^2 = 1$ 相切，令 $\triangle ABC$ 的邊長分別為 $5, 12, a$ 且其內切圓為 $\Gamma$，$P$ 為 $\Gamma$ 上的動點，求 $\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2$ 的最大值與最小值。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $ABCD$ 為一個凸四邊形，兩條對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 相交於 $O$ 點，且 $\overline{AO} = \overline{OC}$。若 $P$ 點為線段 $\overline{AO}$ 的任一內點，延長 $\overline{BP}$ 交 $\overline{AD}$ 於 $E$ 點，延長 $\overline{DP}$ 交 $\overline{AB}$ 於 $F$ 點。其次，延長 $\overline{FO}$ 交 $\overline{CD}$ 於 $H$ 點，延長 $\overline{EO}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $G$ 點。試證：$\overline{FG} \parallel \overline{EH}$。

第二題#

設 $a, b$ 為正整數，且 $a$ 的所有正因數之積等於 $b$ 的所有正因數之積，試證：$a = b$。

第三題#

設 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 為一個 $n$ 次整係數多項式，$k$ 為正整數且 $0 < k < n$。若存在一個質數 $p$ 使得 $p \nmid a_k$，且 $p \mid a_{k-1}, \cdots, p \mid a_1, p \mid a_0$，但 $p^2 \nmid a_0$。試證：存在一個整係數多項式 $g(x)$ 滿足下列條件：

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（35 分）設正實數數列 $t_1, t_2, \cdots$ 是一個公比為 10 的等比數列。試求所有可能的正整數 $n$ 及所有的 $n$ 次多項式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$，滿足：最高次項係數 $a_n$ 是整數，且

$$\left| f(\log_{10} t_k) \right| = 93,\quad \forall\, k = 1, 2, \cdots, n+1.$$

第二題#

（35 分）在某一個 $\triangle ABC$ 中，過頂點 $B$ 作一直線與 $\angle C$ 的平分線垂直，垂足為 $D$；過頂點 $C$ 作一直線與 $\angle B$ 的平分線垂直，垂足為 $E$。設點 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的外部，點 $E$ 在 $\triangle ABC$ 的內部且 $\triangle ABC$ 的內切圓在邊 $\overline{AB}$、$\overline{CA}$ 上的切點分別為點 $P$、$Q$。試證：直線 $DE$ 通過 $P$、$Q$ 兩點。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 為某三角形之三邊長，試證：

$$(a^2 + b^2 + c^2)^2 > 2(a^4 + b^4 + c^4)$$

第二題#

在 $\triangle ABC$ 中，點 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $\overline{AD} = 2\overline{BD}$，又點 $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點。若 $\angle ACD = \angle BEC$，試證：$\triangle ABC$ 是直角三角形。

第三題#

設 $n$ 為自然數，試證：在任意 $3^n$ 個正整數中，必存在 $2^n$ 個數的和是 $2^n$ 的倍數。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

證明 $\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10} > 1 + \sqrt{3} + \sqrt{15}$，但不允許將這些根號數化成小數後再比較大小。

第二題#

設 $k$ 為大於 $3$ 的正偶數，以下為 $x, y$ 的聯立不等式：

$$y \geq \frac{2x}{3k-2}, \quad y \leq 2x + 2k - 2,$$$$y \leq 2kx, \quad y \leq -2x + 6k - 2$$

試問滿足以上聯立不等式的整數解 $(x, y)$ 共有幾組？

第三題#

設 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 為一整係數多項式（$a, b, c$ 為整數）且 $P(x) = 0$ 的三個根分別為 $u, v, w$。若已知 $a \neq 1$ 且 $w = uv$，試證 $w$ 必為整數。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求所有使得

$$\sqrt{\frac{2006}{x+y}}+\sqrt{\frac{2006}{x+z}}+\sqrt{\frac{2006}{y+z}}$$

為整數的正整數組 $(x, y, z)$。

第二題#

設 $p(x)$ 為整係數多項式。給定整數 $a, b$，令

$$a_1 = p(a),\ a_2 = p(a_1),\ \cdots,\ a_{2006} = p(a_{2005})\ ;$$$$b_1 = p(b),\ b_2 = p(b_1),\ \cdots,\ b_{2006} = p(b_{2005})\ .$$

已知 $a_{2006} = a$，$b_{2006} = b$，但 $a_{1003} \neq a$，$b_{1003} \neq b$。

試證明：若 $a < b$，則 $a_{1003} > b_{1003}$。

第三題#

設 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，分別在 $\overline{BC}$、$\overline{AC}$、$\overline{AB}$ 三邊上各取 $D$、$E$、$F$ 三點。試證明存在唯一的一組 $D$、$E$、$F$ 使得 $\triangle AEF \sim \triangle ABC$、$\triangle BDF \sim \triangle BAC$、$\triangle CDE \sim \triangle CAB$，並找出這樣的 $D$、$E$、$F$ 三點的位置。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點 $A$ 之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點（每個臨近的頂點被選中的機率皆為 $1/3$），並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼在 $60$ 分鐘之後，它的位置恰好在一開始起步之頂點 $A$ 的機率是多少呢？

第二題#

設 $x \neq \pm 1,\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。解下列有理方程式

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{2x}{1-x^2} + \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}{1 - \dfrac{2x}{1-x^2} \cdot \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}.$$

第三題#

假設三角形三頂點為 $A_1, A_2, A_3$，其對邊分別為 $S_1, S_2, S_3$ 且對邊長度分別為 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$。設 $P$ 為三角形內部任意一點，$P$ 到 $S_1, S_2, S_3$ 的距離分別為 $h_1, h_2, h_3$。

求證：

$$\frac{\ell_1}{h_1} + \frac{\ell_2}{h_2} + \frac{\ell_3}{h_3} \geq 6\sqrt{3}.$$

第四題#

設 $p$ 為奇質數。證明：

$$2^p + 1 - \sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j}\binom{p+j}{j}$$

是 $p^2$ 的倍數。

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）如圖，將邊長為 $a$ 的正方形剪去圖中的陰影部分，再沿圖中的虛線摺成一個正三角錐，其底面是邊長為 $b$ 的正三角形，則 (1) $a$ 與 $b$ 的關係式為何？(2) 正三角錐的高為何？

第二題#

（16 分）設數列 $\langle a_n \rangle$ 的每一項都是正數，$S_n$ 為前 $n$ 項的和，且 $S_n^2 = a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3$，$n=1,2,\ldots$，請導出此數列的一般項 $a_n$，並證明之。

第三題#

（17 分）已知 $(2x-1)^8 - (ax+b)^8 = (x^2+cx+d)^4$ 為恆等式，其中 $a>0$。試求實數 $a,b,c,d$ 之值。

合作解題賽

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

每題 40 分，共 200 分。

第一題#

已知二次函數 $y = ax^2 + bx + c$ 的圖形經過 $A(-1, 0)$、$B(2, 0)$、$C(0, 2)$ 三點，

（15%）求此二次函數為何？
（25%）若點 $P$ 是第一象限內此二次函數圖形上的一個動點，移動 $P$ 點使得四邊形 $ABPC$ 的面積最大，求此時面積的大小及 $P$ 點座標？

第二題#

下表為一個 $3000 \times 3000$ 的表格，且每一直行和每一橫列中的數字皆各自形成等差數列，若在此表格中，數字 4601 出現在對角線格子上的次數為 $A$、出現在對角線以上的格子次數為 $B$，求數對 $(A, B)$。

1	5	9	13	17	$\cdots$
5	11	17	23	29	$\cdots$
9	17	25	33	41	$\cdots$
13	23	33	43	53	$\cdots$
17	29	41	53	65	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

第三題#

高雄市教育局舉辦一個含有數個項目的競賽，甲、乙、丙三人同時參加此競賽，在每一個別項目的競賽中三人的成績恰好均為三個相異的正整數 $a, b, c$（舉例而言：在項目 1 中，甲得 $a$、乙得 $b$、丙得 $c$；在項目 2 中，甲得 $c$、乙得 $a$、丙得 $b$；……）。已知最後成績總和甲得 19 分、乙得 11 分、丙得 9 分；假設在某項目中丙的成績為第一名，求在此項目中誰得第二名？

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $f(x)$ 為一個五次實係數多項式，如果 $f(x) + 1$ 能被 $(x-1)^3$ 整除，且 $f(x) - 1$ 能被 $(x+1)^3$ 整除，試求滿足上述條件之所有可能多項式 $f(x)$。

第二題#

設 $ABCD$ 為圓內接四邊形，其對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於點 $E$，直線 $\overline{AD}$ 與直線 $\overline{BC}$ 交於點 $F$，又直線 $\overline{EF}$ 分別與 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 交於點 $K$, $L$。設 $\triangle CDK$ 的外接圓 $C_1$ 與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$, $M$（相切時 $M$ 亦為 $K$），$\triangle KLM$ 的外接圓 $C_2$ 交 $\overline{CD}$ 於點 $L$, $N$。證明：若 $F$, $M$, $N$ 共線，則 $ABCD$ 為等腰梯形。

第三題#

(a) 證明：

$$\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! + 1 = (n+1)!$$

(b) 證明：對於任意正整數 $n$，都可寫成 $n = \sum_{k \geq 1} a_k \cdot k!$ 的形式，其中 $a_k$ 為整數，$0 \leq a_k \leq k$；並且這種表示法唯一。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $P$ 為 $\triangle ABC$ 的內部一點，滿足 $\angle BAC + \angle BPC = 180^\circ$ 且 $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$。

試證：$\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC$。

第二題#

已知 $a, b, c$ 都大於 $-1$，試證：

$$\frac{1+a^2}{1+b+c^2} + \frac{1+b^2}{1+c+a^2} + \frac{1+c^2}{1+a+b^2} \geq 2$$

第三題#

試確認所有正整數 $n$，使得方程式

$$x + y + z = n\sqrt{xyz}$$

有正整數解 $x, y, z$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如圖，取圓外一點 $A$ 作圓的切線交圓於 $B$、$C$ 兩點，在圓上取另一點 $D$ 使得 $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，連接 $\overline{AD}$ 交圓於 $E$，再連接 $\overline{CE}$，試證 $\overline{DE} = 2\overline{CE}$。

第二題#

設 $p$ 為大於 $3$ 的質數。考慮級數和

$$s = \frac{1}{\dbinom{p}{1}^2} + \frac{1}{\dbinom{p}{2}^2} + \cdots + \frac{1}{\dbinom{p}{p-1}^2}$$

將 $s$ 整理成最簡分數 $s = \dfrac{m}{n}$，試證：分母 $n$ 不是 $p^2$ 的倍數。

第三題#

令 $f(x)$ 是一個 $m$ 次整係數多項式函數，其中 $m \geq 1$。已知數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_0 = 0$ 且對所有正整數 $n$ 都有 $a_n = f(a_{n-1})$。如果 $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ 這 $2019$ 個整數裡面至少有 $1011$ 個不等於 $0$，試證明 $f(a_{2019}) \neq 0$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\mathbb{N}$ 表示所有正整數所成的集合，且函數 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 滿足：對於任意的 $m, n \in \mathbb{N}$，$(f(m))^2 + f(n)$ 可以整除 $(m^2 + n)^2$。試證：對所有的 $n \in \mathbb{N}$，$f(n) = n$。

第二題#

設 $\triangle ABC$ 是銳角三角形，$M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\angle A$ 的分角線與 $\overline{BC}$ 交於點 $Q$，又點 $Y$、$Z$ 分別在 $\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，且 $\triangle MYZ$ 的內心為 $P$。已知 $B, C, Y, Z$ 四點共圓，且 $A, Y, P, Z$ 四點共圓，試證：$B, Z, P, Q$ 四點共圓。

第三題#

在正 $n$ 邊形的每個頂點上放置一顆石頭，並按以下規則操作：每一次操作可以選擇兩個相鄰的頂點並交換石頭。試問至少需要操作多少次，才會使得每顆石頭以順時針方向數都距離其初始位置恰好 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 格？其中符號 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ 表示不大於 $\dfrac{n}{2}$ 的最大整數。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

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筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

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筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

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筆試(二)

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筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 為正整數，且 $c(ac+1)^2 = (5c+2b)(2c+b)$，試證：$c$ 必為奇數且 $c$ 為完全平方數。

第二題#

$S = \{2350, 2351, \cdots, 2350+k\}$，求所有的正整數 $k$，使得集合 $S$ 能分成元素和相等且交集為空集合的兩個子集合 $S_1$ 與 $S_2$。

第三題#

設 $x \geq 3$ 且三角形的三邊長為 $\log x$、$\log(x+1)$ 和 $\log(x^2+1)$。證明此三角形為鈍角三角形且其鈍內角度數大於 $120^\circ$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

找出所有讓 $\dfrac{2a^2+b^2}{a+2b}$ 是整數的互質正整數對 $(a, b)$。

第二題#

$f(x)$ 是一個實數值函數，滿足 $f(-1) = \sqrt{3}$，當 $x < 0$ 時 $f(x) > 1$，且對於任意實數 $x$ 和 $y$，有 $f(x+y) = f(x)f(y)$。數列 $\{a_n\}$ 則滿足 $a_1 = f(0)$，$a_2 = f(-2)$，且

$$f(a_{n+2}) = \frac{f((n+3)a_{n+1})}{f((n-2)a_n)}.$$

求出所有正整數 $n$，使得 $a_n$ 是 11 的倍數。

第三題#

試求出最大的正整數 $N$ 使得可將集合 $\{1, 2, 3, \ldots, N\}$ 分為兩個不相交的非空子集合 $A$ 與 $B$，使得 $A$ 中任意 10 個數 $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $A$ 之中，且 $B$ 中任意 10 個數 $y_1, y_2, \ldots, y_{10}$（不要求它們互不相同）的和都不在 $B$ 之中。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

若

$$\begin{cases} z + xy + z^2 = 3 \\ y^2 - xz + z^2 = 1 \\ xy + z = 2 \end{cases}$$

求實數解 $(x, y, z)$。

第二題#

設 $a$ 為實數，若三次方程式 $5x^3 - 5(a+1)x^2 + (71a - 1)x + 1 = 66a$ 的三個根皆為自然數，則 $a$ 值為何？

第三題#

計算 $1 \cdot 2 \cdot 4 + 4 \cdot 5 \cdot 7 + 7 \cdot 8 \cdot 10 + \cdots + 97 \cdot 98 \cdot 100$ 之值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $x, y, z, u$ 為正整數，若 $x + y = 3(z + u)$，$x + z = 4(y + u)$，且 $x + u = 5(y + z)$，則 $x$ 最小的可能值為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設 $P(x)$ 為一個實係數六次多項式，若 $P(x)$ 滿足 $(x-1)P(x^2) = (x+1)\big(P(x)\big)^2$，則 $P(x) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

在等腰三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{AC}$ 且 $\angle B$ 的平分線交 $\overline{AC}$ 於 $D$，如下圖所示，若 $\overline{BC} = \overline{AD} + \overline{BD}$，則 $\angle A = $ ＿＿＿（三）＿＿＿度。

第四題#

設 $a, b, c$ 為非零實數，在座標平面上，若 $y = x^4 - 8x^2 + ax + b$ 與 $y = x^2 - cx$ 的圖形交於四點：$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, $(x_4, y_4)$，則 $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = $ ＿＿＿（四）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知角 $\alpha$ 滿足 $0 < \alpha < 180^\circ$，且 $1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$，求實數 $\tan 2\alpha = $ ＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

令 $f(x) = \dfrac{2^x - 2}{2^x + 2}$，計算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{112} f\left(\frac{n}{56}\right) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

將單位正立方體置於坐標空間中的第一卦限，使得 $(0, 0, 0)$ 與 $(1, 1, 1)$ 為最遠的兩個頂點。則此正立方體位於兩平行平面 $x - y + z = 0$ 及 $x - y + z = 1$ 之間的區域體積為＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

若 $x, y$ 為實數，則 $\sqrt{(4x - 2\sin y)^2 + (3x - \cos y - 5)^2}$ 的最小值為＿＿＿（四）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\triangle ABC$ 之點坐標為 $A = (0, 0)$, $B = (4, 0)$, $C = (3, 3)$，$P$ 為三角形內部一點，$d_a, d_b, d_c$ 分別為 $P$ 到 $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ 的距離。已知點 $P(x, y)$ 使得 $d_a^2 + d_b^2 + d_c^2$ 為最小，則 $(x, y) = $ ＿＿＿＿。

第二題#

設 $\{a_n\}$ 為一正整數數列，滿足 $a_{n+1}$ 為 $a_n$ 的各個位數的數字和，例如：若 $a_n = 123$，則 $a_{n+1} = 1 + 2 + 3 = 6$。理論上這個數列只要一直做下去，最後一定會停留在 1 到 9 其中一個數字。設 $a_1$ 為 1 到 2023 中的某一個正整數，使得此數列最後停在 7 這個數字，若這樣的 $a_1$ 總共有 $m$ 種選擇，則 $m = $ ＿＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試問函數 $f(x) = \dfrac{\sin 2x + \sin 3x}{\cos 2x + \cos 3x}$ 的最小週期為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

滿足 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2023}$ 的正整數數對 $(x, y)$ 共有＿＿＿（二）＿＿＿組。

（註：當 $\alpha \neq \beta$，$(\alpha, \beta)$ 與 $(\beta, \alpha)$ 視為不同的整數數對。）

第三題#

半徑為 1 公分的球面上有兩點 $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$B\left(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，其球心位於原點。沿著球面從 $A$ 點到 $B$ 點的最短路徑長為＿＿＿（三）＿＿＿公分。

第四題#

已知點 $A$ 在單位圓 $O$ 上，線段 $BC$ 在圓 $O$ 外，$D$ 為線段 $AC$ 的中點。若 $\overline{BC} = 3$，$\overline{OB} = \overline{OC} = 4$，則 $\overline{BD}$ 的最小值為＿＿＿（四）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

函數 $3\sin(x + 20^\circ) + 5\sin(x + 80^\circ)$ 的最大可能值為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設 $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3x + 15}$，其中 $-5 \leq x \leq 4$。若 $f(x)$ 的最小值為 $a$，最大值為 $b$，則數對 $(a, b) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

設 $\left(\sqrt{7} + \sqrt{5}\right)^6 = A + B$，其中 $A$ 為整數，且 $0 \leq B < 1$。則 $B^2 + 13534 \cdot B = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

已知左右開口的雙曲線 $\Gamma$ 的漸近線是 $x \pm 2y = 0$，$\Gamma$ 上動點 $P$ 到 $A(5, 0)$ 的距離之最小值為 $\sqrt{6}$。則雙曲線 $\Gamma$ 的方程式為＿＿＿（四）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $f(x)$ 為一個 2023 次多項式，如果

$$f(1) = 0,\ f(2) = 1,\ f(4) = 2,\ \cdots,\ f(2^{2023}) = 2023,$$

則多項式 $f(x)$ 的 $x$ 項之係數為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設多項式 $p(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$，其中 $a, b, c, d, e$ 為實數，且 $p(1) = 112$，$p(2) = 224$，$p(3) = 336$，$p(4) = 448$，則 $p(11) - p(-6) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

設 $f(x)$ 為一個 $n$ 次多項式，對於 $k = 0, 1, 2, \ldots, n$，都滿足 $f(k) = \dfrac{k}{k+1}$，則 $f(n+1) = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（4 分）等腰 $\triangle ABC$ 中，如果 $\angle ABC$ 的角平分線交 $\overline{AC}$ 邊於 $D$ 點，且 $\overline{BC} = \overline{BD} + \overline{AD}$，試求 $\angle A$。

第二題#

（4 分）設 $A$ 是十進位制數 $5555^{5554}$ 的各位數字之總和，$B$ 是 $A$ 的各位數字之總和，$C$ 是 $B$ 的各位數字之總和，$A$、$B$、$C$ 都是十進位制數字。求 $C$ 之值。

第三題#

（4 分）如下圖，$\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = 33$，$\overline{AC} = 21$，$\overline{BC}$ 邊長為正整數，$\overline{AD} = \overline{DE} = \overline{EC}$ 也是正整數，求 $\overline{BC}$ 邊長。

第四題#

（4 分）設 $a - b = 20 + \sqrt{23}$，且 $b - c = 20 - \sqrt{23}$，則 $a^2 + b^2 + c^2 - ca - ab - bc$ 的值為何？

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 均為實數，且滿足 $a + 3b + 2c = 0$ 且 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 22$，若 $b^2 - 8b + 17$ 的最小值為 $n$ 而最大值為 $m$，求 $n + m$ 之值為＿＿＿＿。

第二題#

設 $f(x) = x^{2022} + x^{2021} + \cdots + x + 1$，則 $f(x^{2023})$ 除以 $f(x)$ 的餘式為＿＿＿＿。

第三題#

設 $n$ 為正整數，若 $n^2$ 的十位數字為 0，求 $n^2$ 所有可能不同的個位數字的和為＿＿＿＿。

第四題#

設 $a$ 為正整數且 $a^4 - 96a^2 + 2500$ 為質數，則 $4a - 2 = $ ＿＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於 1 的正整數，$a_1, a_2, \ldots, a_n$ 為 $n$ 個不全為 0 的實數，滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$，且對任意滿足 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 的 $n$ 個整數 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 而言，都有 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n$ 為一整數。求 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$ 的最小值。（以 $n$ 表示）

第二題#

三角形 $ABC$ 的三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，分別有 $D$、$E$、$F$ 三點，使得

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} = \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = \frac{1}{2}.$$

已知 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CF}$ 交於 $A^{\prime}$，$\overline{BE}$ 和 $\overline{AD}$ 交於 $B^{\prime}$，$\overline{CF}$ 和 $\overline{BE}$ 交於 $C^{\prime}$，且 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \triangle ABC$。證明：$\triangle ABC$ 為正三角形。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

113 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（二）。本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分 24 分，考試時間 1 小時。

第一題#

若數列 $\langle x_n \rangle$ 的一般項為 $x_n = \dfrac{113^n}{n!}$，則此數列的最大項為＿＿＿（一）＿＿＿（以 $x_n$ 表示）。

第二題#

若函數 $f_n(x) = f(f(\cdots f(x) \cdots))$，即 $n$ 個函數 $f$ 的合成，且 $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，則 $f_n(x) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

試求 $\cos(2x) + 3\sin x$ 的最大值為＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

一樓梯有 12 個階梯，每一步可以向上跨 1 階或 2 階，試問上樓梯的走法有＿＿＿（四）＿＿＿種。

第五題#

若函數 $f(x) = x^2 + \dfrac{64}{x^2 + 4}$ 在 $x = a$ 時有最小值 $b$，則 $b - a^2 = $ ＿＿＿（五）＿＿＿。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於或等於 3 的正整數。將編號 $1, 2, \ldots, n$ 等 $n$ 顆球分成三堆的方法總數記為 $f(n)$，其中編號 1、2 的兩顆球在不同堆的方法數記為 $g(n)$。

求 $f(n)$。（以 $n$ 的函數表示）
證明：$\dfrac{g(n)}{f(n)} > \dfrac{2}{3}$。

第二題#

求所有正整數 $n$，使得 $114^n - 2025$ 有一些質因數 $p_1 < p_2 < \cdots < p_j$，滿足 $p_1 p_2 \cdots p_j - 1$ 可被 3 整除，且 $\sqrt{\dfrac{114^n - 2025}{p_1 p_2 \cdots p_j}}$ 為整數。

第三題#

給定一圓 $O$，$P$ 是圓外一點，作兩條切線 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 使得 $A$、$B$ 為切點；在 $\overline{PB}$ 的延長線上取一點 $C$，使得 $B$ 介於 $P$ 與 $C$ 之間；設 $\overline{AC}$ 與圓 $O$ 相交於另一點 $D$，作 $D$ 對於直線 $\overline{PC}$ 的對稱點 $E$；在 $\overline{PO}$ 的延長線上取一點 $F$，使得 $\overline{FC} \perp \overline{PC}$。證明：$A$、$E$、$C$、$F$ 四點共圓。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（二）。本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分 24 分，考試時間 1 小時。

第一題#

正四面體的頂點和各邊中點共有 10 個點，在這 10 個點中任取 4 個不共面的點，共有＿＿＿（一）＿＿＿種取法。

第二題#

在空間中，若 $ABCD$ 為邊長 $2$ 的正方形，$P$、$Q$ 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{AD}$ 的中點，$\overline{RC}$ 垂直正方形 $ABCD$ 所在的平面，且 $\overline{RC} = 1$，則 $C$ 點到平面 $PQR$ 的距離為＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

當一個正整數，從最左邊第二位開始，每個數字都比其左邊的數字大，且最左邊數字與最右邊數字的差為 $2$ 的倍數，稱此數為「同升數」，例如 $36789$ 是一個五位同升數，$3659$ 不是一個四位同升數。

所有四位同升數共有＿＿＿（三）＿＿＿個。

第四題#

若數列 $\langle a_n \rangle$ 為公差 $d \neq 0$ 的等差數列，且 $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots, a_{k_m}$ 為等比數列，其中 $k_1 = 1$，$k_2 = 4$，$k_3 = 13$，則 $k_1 + k_2 + \cdots + k_m = $ ＿＿＿（四）＿＿＿（以符號 $m$ 表示）。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如下圖，$S_1$ 與 $S_2$ 是直角三角形 $ABC$ 的內接正方形，已知 $S_1$ 的面積為 361 平方公分，且兩股 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BC}$ 長的和為 380 公分，試求 $S_2$ 的面積為多少平方公分？

第二題#

設 $c$ 為非零的整數，定義數列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 為 $a_1 = 2$ 且

$$a_{n+1} = c a_n + \sqrt{(c^2 - 1)(a_n^2 - 4)},\quad n = 1, 2, 3, \cdots.$$

試證：$a_{2000}$ 是整數。

第三題#

設數列 $\{a_n\}$ 滿足 $\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} \leq a_{n+1}$，$n$ 是任意正整數。試證

$$\frac{a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n+1}}{n+1} \leq \frac{a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}}{n}.$$

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（35 分）在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 及 $F$ 分別在三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 及 $\overline{AB}$ 上，且使得 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$ 及 $\overline{CF}$ 三線段交於一點。過 $F$ 作平行於直線 $ED$ 的直線交 $\overline{AD}$ 於 $K$，並交 $\overline{CB}$ 的延長線於 $L$。試證：$\overline{FK} = \overline{FL}$。

第二題#

（35 分）設正實數 $a, b$ 滿足：$a^3 + b^3 + 3ab = 1$。試求 $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 + \left(b + \dfrac{1}{b}\right)^3$ 的最小值。

第三題#

（35 分）試求所有的正整數 $n$，使得 $n^5 + 2n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1$ 為一完全平方數。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

若兩正整數 $a$ 和 $b$ 的最大公因數為 $10$，則 $a^3$ 和 $b^4$ 的最大公因數可能為何？

第二題#

設 $N = 2^1 + 2^4 + 2^9 + 2^{16} + \cdots + 2^{81} + 2^{100}$。若 $N$ 以十進位表示出來是 $a$ 位數且首位數字與個位數字分別為 $b$ 與 $c$，求 $a + b + c$ 之值。（已知 $\log 2 = 0.3010$）

第三題#

設二次曲線 $\Gamma: 9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0$ 與直線 $L: 2x - 5y - 10 = 0$，若要在 $\Gamma$ 上找一點 $P$ 使得 $P$ 到 $L$ 的距離為最短，則 $P$ 的坐標為何？

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\triangle ABC$ 中 $\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，圓 $O$ 為 $\triangle ABC$ 的外接圓，$P$ 為劣弧 $\widehat{BC}$ 上異於 $B$、$C$ 的動點，連接 $AP$ 線段與三角形的 $BC$ 邊交於點 $Q$。試求 $\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{QP}}$ 的最小值。

第二題#

從 $1, 2, 3, 4, \cdots, 2n-1, 2n$ 這 $2n$ 個正整數中，隨意選取 $n$ 個數，並將他們從大至小排列為 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，即

$$a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > a_n\ .$$

再將剩下的 $n$ 個數從小至大排列為 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，即

$$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n\ .$$

試求 $|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n|$ 之所有可能的值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $A$ 代表球心在原點、半徑為 $1$ 的球面。令 $Q$ 的座標為 $(1, 2, 0)$，$N$ 的座標為 $(0, 0, 1)$，$S$ 的座標為 $(0, 0, -1)$。設 $\overline{NQ}$ 線段交球面 $A$ 於 $P$ 點，求 $\overline{PS}$ 線段與 $xy$ 平面的交點座標。

第二題#

設函數 $f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 滿足下列三個條件：

$f(x, x) = x$
$f(x, y) = f(y, x)$
$f(x, y) \cdot (x + y) = f(x, x+y) \cdot y$

求 $f(16, 54)$ 之值。

第三題#

下圖是網球比賽的賽程，總共有 $16$ 位選手參加。競賽採用單淘汰制，一開始主辦單位將 $16$ 位選手隨機地分配到 A～P 的位置。如果今日有甲和乙兩位雙胞胎參加比賽，請問他們在整個賽程當中，彼此可能會遭遇對打的機率是多少？（假設這 $16$ 位選手的實力相當，兩兩配對比賽時，獲勝或者失敗的機率都是 $1/2$。）

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（3 分）設 $x, y$ 為實數，若 $3x^2 + 2y^2 = 2x$，則 $x^2 + y^2$ 的最大值為何？

第二題#

（3 分）在密碼學中，對於英文，人們將 26 個字母按順序分別對應整數 0 到 25（例如 A 對應 0，B 對應 1，C 對應 2，……，Z 對應 25）。現有一個密碼單詞是由 4 個字母構成，記此 4 個字母由左而右對應的數值分別為 $x_1, x_2, x_3, x_4$。已知：整數 $x_1 + 2x_2$、$3x_2, x_3 + 2x_4$、$3x_4$ 除以 26 的餘數分別為 9、16、23、12，則密碼的單詞是何？

第三題#

（3 分）有甲、乙、丙三個人分別擲一公正的骰子，擲出點數分別為 $a_1, a_2, a_3$，則恰好 $a_1 \geq a_2 + a_3$ 的機率為何？

第四題#

（3 分）如右圖，$\triangle ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 150°$，$\overline{AB} = 3, \overline{AC} = 2$，$D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BD} : \overline{DC} = 1 : 2$，則向量內積 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$ 為何？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $S$ 為 $100$ 個相異正數所形成的集合。試證：集合 $S$ 中存在兩個元素 $x, y$ 滿足

$$0 < x - y < \frac{(x+1)(y+1)}{99}。$$

第二題#

設 $A_1, A_2, \ldots, A_{2017}$ 為平面上任三點都不共線的 $2017$ 個點，任兩點連成的線段所成的集合以 $X$ 表示。試證：可以將 $X$ 中的線段每三個一組分堆，使得每一組的三條線段都恰可圍成一個三角形。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知三次函數 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的圖形和直線 $x=p,\ x=q,\ x=r,\ x=s$ 的交點分別是 $P, Q, R, S$（$p, q, r, s$ 互不相同）。

證明：直線 $PQ$ 和 $RS$ 的交點在 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 上 $\Leftrightarrow p+q=r+s$。

第二題#

已知 $S$ 是一個正整數集合，至少有兩個元素，且元素兩兩不相等。如果對於 $S$ 的任何元素 $a$，都可以將 $S - \{a\}$ 分成兩個不相交的集合使其元素和相等，則稱 $S$ 是一個怪集合。

證明：怪集合必有奇數個元素。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求滿足方程式 $x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1$ 的所有整數解 $(x, y)$。

第二題#

將 $0, 1, 1, 2, 2, \cdots, n, n$ 等 $2n+1$ 個數字，依以下條件排列成一列：

$0$ 必須排在正中間且任何兩個數字 $r$（$1 \leq r \leq n$）之間恰有 $r-1$ 個數字。

$n = 6$ 時，是否有排列滿足要求？
$n = 7$ 時，是否有排列滿足要求？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

正整數數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足：對於每一個正整數 $k$，$a_{k+1}$ 等於 $a_k$ 的每一位數字之和的平方；例如：當 $a_k = 25$ 時，$a_{k+1} = (2+5)^2 = 49$，$a_{k+2} = (4+9)^2 = 169$。已知 $a_1 = 2^{2020}$，試求 $a_{2020}$ 的值。

第二題#

考慮 $\{1,2,3,4,5\}$ 的三個非空子集，滿足這三個集合的交集為空集合，且兩兩交集非空。試問這樣的三個集合有多少種？
若改為 $\{1,2,3,4,5\}$ 的四個非空子集，滿足此四個集合的交集為空集合，且任三集合交集非空。試問這樣的四個集合有多少種？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為正整數。已知不等式 $a_{2n}^2 \geq c(a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + a_{2n}$ 對任意嚴格遞增的正整數數列 $a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n}$ 均成立，試求常數 $c$ 的最大可能值。（此最大值可能與 $n$ 有關）

第二題#

以下圖形為某公園的道路圖，每個道路交叉口都有一盞燈，可以是打開的或關掉的。每一個被道路分割產生的區域都有一個開關，按這個開關後會改變相鄰的路燈的狀態，開的會被關掉，關掉的會被打開。請證明不論開始所有路燈開關的情形為何，都可以適當的按壓不同區域的開關，讓所有的燈都被關掉。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

平面上給定一個凸 $n$ 邊形，其中 $n$ 為大於或等於 4 的正偶數，而 $P$ 為在該凸 $n$ 邊形內部且不在任何一條對角線上的一個點。考慮由該凸 $n$ 邊形之頂點所形成且包含 $P$ 點的三角形，試證明這樣的三角形共有偶數個。

第二題#

對於每個正偶數 $x$，令 $e(x)$ 為 $x$ 的因數中 2 的最高次方的數，例如，$e(8) = 2^3 = 8$，$e(12) = 2^2 = 4$。對於任意正整數 $n$，定義

$$S(n) = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} e(2k)$$

若正整數 $n$ 小於 1300 且 $S(n)$ 是一個完全平方數，求 $n$ 的最大值。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $s, t, u$ 為 $x^3 - x - 1 = 0$ 的三個根，求 $\dfrac{1-s}{1+s} + \dfrac{1-t}{1+t} + \dfrac{1-u}{1+u}$ 的值。

第二題#

平面上有 $n$ 個點，假設任意三點所形成的三角形面積都小於等於 1。請解釋：可以找到一個三角形區域（內部及邊界）面積為 4，且可以完全包括蓋住這 $n$ 個點。

（註：此三角形的三頂點可以不全是這 $n$ 個點）

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設數列 $\langle a_n \rangle$ 滿足以下條件：

$\dfrac{a_1}{a_2}$ 為無理數，$0 < a_2 < a_1$ 且對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} = a_n - \left[\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right] \cdot a_{n+1}$，其中符號 $[x]$ 表示不超過 $x$ 的最大整數。

試證：對任意的 $n \geq 1$，$0 < a_{n+1} < a_n$。
試證：對任意的 $n \geq 1$，$a_{n+2} < \dfrac{a_n}{2}$。

第二題#

對於由有限個向量組成的集合 $S$，令 $u_S$ 表示 $S$ 中向量的總和。今在坐標空間中任選 11 個非零向量 $(a_0, a_1, a_2)$，其中 $a_0, a_1, a_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$。試證明在這 11 個向量中存在兩個相異的非空子集合 $S$ 和 $T$，滿足內積 $(u_S - u_T) \cdot (1, 5, 25) = 0$。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設函數 $f(x) = (x^2 - kx + 2k) \cdot \log(x+1)$，$x > -1$，其圖形恆通過四個象限，求 $k$ 的範圍。

第二題#

設 $xy$-平面上有一單位向量 $\vec{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$。在平面上，我們將 $y > 0$ 的部分稱之為上半平面，$y < 0$ 的部分稱之為下半平面。現在我們考慮一個轉動向量的規則：

$$(\cos\theta, \sin\theta),\ (\cos 2\theta, \sin 2\theta),\ (\cos 4\theta, \sin 4\theta),\ \ldots$$

轉動後的紀錄如下：

轉動次數 $n$	0	1	2	3	4	5	$\cdots$
輻角	$\theta$	$2\theta$	$4\theta$	$8\theta$	$16\theta$	$32\theta$	$\cdots$
上下半平面	上	上	下	上	上	下	$\cdots$

請問向量 $\vec{u}$ 的輻角為何？以弧度 0 至 $2\pi$ 之間的數表示。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（15 分）設 $S$ 表示坐標平面上

$$\begin{cases} x - \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x + \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}$$

所圍成的區域。設圓 $C$ 為區域 $S$ 中面積最大的圓。

試求圓 $C$ 的方程式。
設圓 $C$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，$P$ 為圓 $C$ 內部的動點，滿足 $\overline{PA}, \overline{PO}, \overline{PB}$ 為等比數列，其中 $O$ 為原點。試求向量內積 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值。

第二題#

（15 分）設 $A$ 是 $\{1, 2, 3, \ldots, 112\}$ 的子集合，滿足：若 $x \in A$，則 $2x \notin A$。試問 $A$ 最多有幾個元素？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求出滿足 $a^2 + b^2 = n!$ 的所有解，其中 $a, b, n$ 為正整數，滿足 $a \leq b$ 且 $n < 14$。

第二題#

試求所有正整數 $x, y$，使得 $x^2 + 3655 = 2^y$。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

解聯立方程組

$$\begin{cases} y = x^3(3 - 2x) \\ z = y^3(3 - 2y) \\ x = z^3(3 - 2z) \end{cases}$$

第二題#

從 $\{-2023, -2022, -2021, \cdots, -2, -1, 1, 2, \cdots, 2021, 2022, 2023\}$ 中取出四個不同的數，其中兩個為正數，另兩個為負數，且其和為零，問有幾種取法？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設集合 $S$ 同時滿足以下三個條件：

(i) $S$ 中每個元素 $a$ 都為正整數，且 $1 \leq a \leq 100$；

(ii) 對於任意 $a, b \in S$（$a \neq b$），都存在 $c \in S$（$c \neq a, b$）使得 $\gcd(a+b, c) = 1$；

(iii) 對於任意 $a, b \in S$（$a \neq b$），都存在 $d \in S$（$d \neq a, b$）使得 $\gcd(a+b, d) > 1$。

求 $S$ 的元素個數的最大值。

第二題#

設集合 $T$ 中的每個元素均為 $3668^{50}$ 的正因數，且 $T$ 中任意兩個數都不具有因數倍數的關係，求 $T$ 中元素個數的最大值。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

數列 $\langle x_n \rangle$ 滿足 $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_{k+1} = x_k^2 + x_k$，求 $\dfrac{1}{x_1 + 1} + \dfrac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \dfrac{1}{x_{2024} + 1}$ 的整數部份。

第二題#

求方程式 $\sin x = \log_{113} x$ 的實根個數。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為正整數，計算 $\displaystyle\sum_{j=0}^{n} 2^{n-j} C_j^{n+j}$。

第二題#

擲一顆公正的六面體骰子，設擲 $n$ 次點數總和是 5 的倍數之機率為 $p(n)$。已知 $p(n) = a + b \times p(n-5)$，求實數 $a$, $b$ 之值。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

在一次聯誼活動期間，每一位參加者都贈送其他的每一位參加者一件禮物。已知在活動中場休息時，主辦單位發現：

至少有一半的參加者都已恰好獲得應得禮物數的二分之一，
至少有三分之一的參加者都已恰好獲得應得禮物數的三分之一，
至少有七分之一的參加者都已恰好獲得應得禮物數的七分之一。

試問最少有多少人參加這次活動？

第二題#

給定一個銳角三角形 $ABC$，

試用尺規作圖作出一個長寬之比為三比一的內接矩形（其中兩個頂點在 $\overline{BC}$ 上），
試問共有多少個這樣的矩形？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如圖所示，圓中的三弦 $\overline{AA'}$、$\overline{BB'}$、$\overline{CC'}$ 兩兩相交，其交點分別為 $P$、$Q$、$R$。已知 $\overline{AP} = \overline{BQ} = \overline{CR}$ 且 $\overline{A'R} = \overline{B'P} = \overline{C'Q}$。試證：$\triangle ABC$ 為正三角形。

第二題#

用 $1, 2, 3, 4, 5$ 排出 120 個各位數均相異的五位數，將它們由小到大排列如下：

12345,	12354,	12435,	$\cdots\cdots$	54321
第 1 個	第 2 個	第 3 個		第 120 個

試問 34521 是排在第幾個？第 100 個數為何？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

給定 $\angle A = 19^\circ$，試利用尺規作圖作出 $\angle B = 1^\circ$。

第二題#

數字 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, \ldots$ 等是由質數所組成的數列。為了瞭解質數的分佈，數學家經常用函數 $\pi(n)$ 來表示「小於或等於 $n$ 的質數之個數」。例如，不超過 $6$ 的質數有 $2, 3, 5$ 共三個，即 $\pi(6) = 3$；又大家都知道不超過 $100$ 的質數有 $25$ 個，即

$$\pi(100) = 25$$

從這兩個值得知

$$\frac{6}{\pi(6)} = 2, \qquad \frac{100}{\pi(100)} = 4$$

已知 $\pi(1008) = 168$，因此

$$\frac{1008}{\pi(1008)} = \frac{1008}{168} = 6$$

證明：會有一個介於 $100$ 與 $1008$ 之間的正整數 $n$，使得

$$\frac{n}{\pi(n)} = 5$$

成立。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

斐波那契數列 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\ldots$ 的排列規律是：前兩個數是 1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數之和，試問在斐波那契數列的前 2008 個數中共有幾個偶數。

第二題#

若橢圓 $2x^2+9y^2=18$ 上有兩個相異點 $A, B$，使得 $A$ 關於直線 $3x+y+a=0$ 的對稱點為 $B$，則 $a$ 的範圍為何？

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $n$ 為正整數，且 $n \cdot 2^{n-1} + 1$ 為完全平方數，試求所有可能的 $n$ 值。

第二題#

在平面 $x + 2y + 3z = 4$ 上有一凸十邊形，其頂點均為格子點（即 $x$ 坐標、$y$ 坐標、$z$ 坐標均為整數的點）。試證此凸十邊形的面積不小於 $5$ 平方單位。

第三題#

日本社團「數學愛好協會」舉辦「圓形蛋糕切三等分大賽」，其數學結構說明如下：

點 $O$ 為圓心。
六角星的頂點 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ 為正六邊形的六個頂點，且 $\overline{OA_1} : \overline{OA_3} = 1:2$。
$B^\prime$、$C^\prime$ 分別為 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 的中點，且 $\overline{BB^\prime}$、$\overline{CC^\prime}$ 分別與 $\overline{OA_1}$、$\overline{PA_4}$ 垂直。
$D^\prime$ 在 $\overline{OA_6}$ 的延長線上，$\overline{A_6D^\prime} = \overline{OB^\prime}$，且 $\overline{DD^\prime}$ 與 $\overline{OA_6}$ 垂直。

已知 $\overline{OB^\prime} = 1$，試證：$B$、$C$、$D$ 將圓周三等分。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

有 2023 塊窗戶，每片窗戶上都塗有紅黃藍其中一個顏色，我們可以任意挑選兩塊不同顏色的窗戶，把顏色擦乾淨後，塗上第三種顏色。請證明無論開始時窗戶的顏色是怎麼分佈的，我們一定可以在有限步驟後，將所有窗戶都塗上同一種顏色。

第二題#

試找出一個正整數數列 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{100}$，滿足每個數都大於 1、兩兩互質，且對於任意 $n$，$1 \leq n \leq 100$，$a_0 a_1 \cdots a_n - 1$ 都等於兩個連續正整數的乘積。（列出前四個數 $a_0, a_1, a_2, a_3$ 以及規律即可，但需完整論證符合條件）

第三題#

在 $x \neq 0$ 時，若實係數 $n$ 次多項式滿足 $f(x) = x^n f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。證明：當 $n$ 為正偶數時，存在多項式 $g(x)$，滿足

$$f(n) = \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2} \left[ g\left(\frac{n}{2}\right) + g\left(\frac{2}{n}\right) \right].$$

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知方程式 $x^3+3x^2-1=0$ 有三實根 $a,b,c$，其中 $a>b>c$。試求 $a^2b+b^2c+c^2a$ 的值。

第二題#

設 $f$ 是由非負實數對應至非負實數的函數，且滿足下列條件：

(i) 對任意的非負實數 $x$ 與 $y$，$f(x+y)=f(xf(y))f(y)$ 皆成立；

(ii) $f(1)=0$；

(iii) 若 $0 \leq x < 1$，則 $f(x) \neq 0$。

試求所有滿足條件的函數 $f$。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c, d$ 均為正整數，$c < d$，且滿足 $a = b + c + d$，以及 $ab = cd$。若 $b$ 可使得 $(a, c, d)$ 的解共有 782 組，求 $ab$ 的最小值。

第二題#

證明：從閉區間 $[0, 44]$ 裡任取 2025 個相異實數 $a_1, \ldots, a_{2025}$，必存在兩數 $a_i$, $a_j$ 滿足 $(i + j + 43)|a_i - a_j| < 45$。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求所有的正整數 $n$ 使得 $n^3 - 8n^2 + 22n - 21$ 為完全平方數。

第二題#

試求所有的整數 $x, y$，使得 $x > 1$，$y > 1$ 且 $(x-1)(y-1) \mid xy - 1$。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求滿足

$$(x+93)P(x-93) + (x-93)P(x+93) = 2xP(x)$$

的實係數多項式 $P(x)$。

第二題#

設 $x, y, z, w$ 都是正實數。試證：

$$(1+x)(1+y)(1+z)(1+w) \geq \left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)\left(1+\sqrt[3]{yzw}\right)\left(1+\sqrt[3]{zwx}\right)\left(1+\sqrt[3]{wxy}\right).$$

第三題#

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是直角，其內切圓與 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 分別交於點 $D$、$E$、$F$。直線 $EF$ 與直線 $BC$ 交於點 $G$；過 $E$ 引 $\overline{EF}$ 的垂線交 $\overline{BC}$ 於點 $H$。設 $\triangle GHE$ 的外接圓與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$。試證：$\overline{GK} = \overline{GD}$。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

通過曲線上的一點且與該點切線互相垂直的直線，稱為該曲線的法線。考慮拋物線 $C: y = x^2$，試求所有在 $y$ 軸上且有三條 $C$ 的法線通過的點之 $y$ 坐標。

第二題#

找出滿足下列關係的所有正整數 $n, k_1, k_2, \cdots, k_n$，

$k_1 + \cdots + k_n = 5n - 4$，
$\dfrac{1}{k_1} + \cdots + \dfrac{1}{k_n} = 1$。

並證明你已得到所有正整數解。

第三題#

試求多項式不等式 $x^6 + x^4 + 3 > 2x^3 + x^2 + 2x$ 的所有實數解。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設正實數 $x, y, z$ 滿足 $3(x + y + z)^2 = 10(xy + yz + zx)$，試求 $\dfrac{x}{z}$ 的最大可能值。

第二題#

試確定所有可能的正整數 $n \geq 2$，滿足以下的性質：「對空間中任意 $2n$ 邊形（頂點可能不在同一平面上），當它的 $n$ 組對邊互相平行且相等時，各邊的中點必在同一平面上」。

第三題#

試求所有可能的二次整係數多項式函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 及整數 $d$，同時滿足以下兩條件：

$\left| f(f(0)) \right| \leq 2020$，
$f(f(1)) = f(f(2)) = f(f(3)) = d$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

下圖中，$\overline{AM}, \overline{AN}$ 是圓 $O$ 的切線，$M$ 和 $N$ 是切點，$B$ 是劣弧 $\overset{\frown}{MN}$ 上異於 $M$、$N$ 的點。過點 $A$ 平行於 $\overline{MN}$ 的直線分別交直線 $\overline{BM}$、$\overline{BN}$ 於點 $P$ 和 $Q$。若 $\angle POQ = 60^\circ$，並用 $S(O)$ 和 $S(\triangle OPQ)$ 分別表示圓 $O$ 和三角形 $OPQ$ 的面積，求 $\dfrac{S(O)}{S(\triangle OPQ)} = ?$

第二題#

二維平面上的每個點都定義一個非零實數，其中有正也有負。且設 $d$ 為任意的正實數。

證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為正數。
證明平面上必存在距離為 $d$ 的兩個點，其所對應的實數之乘積為負數。

第三題#

已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組

$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$

試求 $x + y + z$ 之值。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

是否存在一個鈍角三角形 $ABC$，我們可以在其內部找到一點 $P$，使得 $\tan\angle PAB, \tan\angle PBC, \tan\angle PCA$ 三數均不小於 $\frac{1}{2}$？請證明你的結論。

第二題#

設 $x,y,z$ 為兩兩互質的正整數，且滿足 $x^2+3y^2=z^2$ 和 $x+y+z=2024$，求 $(x,y,z)$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $f(x)$ 是一個領導係數為 1 的四次實係數多項式，$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ 是五個相異整數。證明：必存在一個 $b_i$，使得 $|f(b_i)| \geq \dfrac{3}{2}$。

第二題#

給定圓上五個點依序為 $A, B, C, D, E$，使得直線 $BE$ 與直線 $CD$ 平行。令直線 $AC$ 與直線 $BE$ 的交點為 $F$，直線 $AD$ 與直線 $BE$ 的交點為 $G$。令點 $F$ 在直線 $AB$ 的垂足為 $P$，點 $G$ 在直線 $AE$ 的垂足為 $Q$，直線 $FQ$ 與直線 $GP$ 的交點為 $R$。證明：

三角形 $AGP$ 與三角形 $AFQ$ 面積相等。
直線 $AR$ 與直線 $PQ$ 垂直。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 為多項式 $x^3 - 8x^2 + 8x - 1$ 的三個根，對於任一非負整數 $n$，表 $S_n = a^n + b^n + c^n$。試求 $S_{2000}$ 的個位數。

第二題#

有 $n$ 位學生參加一項數學競賽，這項競賽試題共分成兩大類：$A$ 類與 $B$ 類，每一大類各有 $k$ 小題：$A_1, A_2, \cdots, A_k$ 及 $B_1, B_2, \cdots, B_k$。已知每一位學生解出 $A$ 類的題數與解出 $B$ 類的題數之差都是奇數；而對每一個 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$，解出試題 $A_i$ 的學生數與解出試題 $B_i$ 的學生數之差都是偶數。試證：$n$ 是一個偶數。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設多項式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$，其中 $a \geq 0$，$b \geq 0$，且 $f(x) = 0$ 的三根都是實數。試證：$f(2) \geq 27$。

第二題#

試求所有的整數 $m$, $n$，滿足方程式 $3n^3 - m^2 + 18n - 6m - 30 = 0$。

第三題#

每一個由正整數所形成的集合都有一個「交錯和」，它的定義如下：「將此集合中的數，由大到小排列，交錯的加、減得到一個結果，稱為此集合的交錯和」。例如：集合 $\{1, 2, 4, 6, 9\}$ 的交錯和為 $9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$；集合 $\{6\}$ 的交錯和為 6；空集合的交錯和視為 0。試求 $\{1, 2, \cdots, 2004\}$ 所有子集合交錯和的總和。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試證：對於所有正整數 $n \geq 2$，不等式

$$\sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac{3}{2}}(k^3+1) - \log_{\frac{3}{2}}(k^3-1) \right] < 1$$

恆成立。

第二題#

設正方形 $ABCD$ 之邊長為 $a$，試分別求此正方形所有內接正三角形中面積最大者和面積最小者的面積，並證明你的答案。

第三題#

求最小正整數 $k$ 使得存在一函數 $f: \mathbb{N} \to \{1, 2, \cdots, k\}$（$\mathbb{N}$ 為所有自然數所成的集合）滿足以下條件：

當 $|i - j|$ 為 $3, 8, 11$ 時恆有 $f(i) \neq f(j)$。

獨立研究試題(三)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

是否存在 $n$（$n \geq 2$）個相異正整數，其平方的倒數和為整數？

第二題#

設 $a, b, c$ 為正數，試證：

$$\frac{1}{a(1+b)} + \frac{1}{b(1+c)} + \frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}.$$

獨立研究試題(四)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

若一個直角三角形的三邊長恰好是方程式 $x^3 - 30x^2 + 281x - a = 0$ 的三個根，其中 $a$ 為某一實數。試求此直角三角形的面積為何？

第二題#

設

$$a_1 \geq a_2 \geq b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq b_4 \geq a_3 \geq a_4 > 0$$

且 $a_1 a_2 a_3 a_4 = b_1 b_2 b_3 b_4$。試證：

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4.$$

且等號成立的充要條件為 $a_1 = a_2 = b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = a_3 = a_4$。

第一題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目（選填題第一題）：有 4 枚無法區別的金幣與 4 枚無法區別的銀幣，每枚硬幣都恰有一面有人臉。我們想要將這 8 枚硬幣疊成一疊，使得任兩枚相鄰的硬幣都不是以人臉面接觸人臉面。則我們一共有多少種可能的疊法？

解法：

把問題拆成兩個獨立的子問題：「顏色（金/銀）怎麼排」和「每枚硬幣人臉面朝上或朝下（即方向）怎麼排」——因為「相鄰兩枚是否人臉貼人臉」只跟方向有關，跟顏色無關，所以兩者可以分開計算再相乘。

第一部分：顏色排列

從下到上 8 個位置中選 4 個放金幣（其餘放銀幣），因為同色硬幣不可區分：

$$\binom{8}{4} = 70 \text{ 種}$$

第二部分：方向排列

每枚硬幣有一面是人臉（記為 $E$）、一面空白（記為 $B$）。定義硬幣方向：

$U$：人臉朝上（頂面 $E$、底面 $B$）
$D$：人臉朝下（頂面 $B$、底面 $E$）

由下到上第 $i$ 枚與第 $i+1$ 枚相鄰時，接觸的是第 $i$ 枚的頂面與第 $i+1$ 枚的底面。兩者都是人臉（即「臉貼臉」）的條件是：第 $i$ 枚為 $U$（頂面 $E$）且第 $i+1$ 枚為 $D$（底面 $E$）。

也就是說，方向序列 $s_1, s_2, \ldots, s_8 \in \{U, D\}$ 中，禁止出現相鄰的「$U$ 接著 $D$」。

一旦序列中某處由 $U$ 換成 $D$，就違規；但由 $D$ 換成 $U$、或維持相同符號，都合法。因此合法序列必須形如：先若干個 $D$，再接若干個 $U$（一旦轉成 $U$ 就不能再變回 $D$）：

第二題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目：將 $1, 2, \cdots, 2018$ 這 2018 個數任意排成一列，得到一個數 $A$。則以 3 除 $A$ 的餘數為？

關鍵性質：對任意十進位正整數 $n$，因為 $10 \equiv 1 \pmod 3$，所以

$$n \equiv (\text{$n$ 的各位數字之和}) \pmod 3.$$

解法：

把 $1,2,\dots,2018$ 這些數的十進位表示直接串接起來組成 $A$，那麼 $A$ 的各位數字之和，就等於把每個數 $k$（$1\le k\le 2018$）的 digit sum 全部加起來：

$$\text{digitsum}(A) = \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k).$$

而每個 $\text{digitsum}(k) \equiv k \pmod 3$，所以

$$A \equiv \text{digitsum}(A) \equiv \sum_{k=1}^{2018} \text{digitsum}(k) \equiv \sum_{k=1}^{2018} k \pmod 3.$$

這個結果與排列順序完全無關，因為串接只是把各數字依序放置，並不影響「所有數字之和」這件事。

計算 $\sum_{k=1}^{2018} k$：

$$\sum_{k=1}^{2018} k = \frac{2018 \times 2019}{2} = 1009 \times 2019 = 2{,}037{,}171.$$

檢查此數模 3：數字和 $2+0+3+7+1+7+1 = 21$，可被 3 整除，故

第六題AI解答

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

以下為 AI 生成之解答，僅供參考，未經正式審核。

題目：函數 $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{0\}$ 滿足：對任意兩個相異的 $a, b$，恆有

$$f(a) + f(b) - f(a + b) = 2019.$$

（a）求 $f(0)$ 之值。

（b）設 $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ 為 100 個兩兩相異的正整數，求

$$f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{100}) - f(a_1 + a_2 + \cdots + a_{100})$$

之值。

(a) 求 $f(0)$#

取 $a$ 為任意正整數、$b = 0$（兩者相異），代入關係式：

$$f(a) + f(0) - f(a + 0) = 2019,$$

左邊的 $f(a)$ 與 $f(a+0) = f(a)$ 相消，得

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